大话数据结构-第2章 算法 17- 高飞网

第2章 算法 17

2015-11-29 23:26:57.0

算法:

算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。

两种算法的比较:求1+2+3+...+100的结果?

算法1:普通的循环做法

#include <stdio.h>
int main(void){
    int i,sum=0 ,n=100;
    for(i=1;i<=n;i++){
        sum = sum + i;
    }   
    printf("sum = %d\n",sum);
    return 0;
}

算法2:高斯算法

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    int sum=0 ,n=100;
    sum =( n + 1) * n / 2;
    printf("sum = %d\n",sum);
    return 0;
}

循环求和的算法会因为n的变大而变慢,但高斯算法却和n无关,都是一步计算出来。

算法定义

算法是解决特定问题的求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性

算法有五个基本特性:输入输出、有穷性、确定性和可行性。

  1. 输入输出:算法具有零个或多个输入,至少有一个或多个输出
  2. 有穷性:算法在执行有限的步骤之后,会自动结束而不会出现无限循环,并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
  3. 确定性:算法的每一步骤都具有确定的含义,不会出现二义性。
  4. 可行性:算法的每一步必须是可行的,即必须能够通过执行有限次数完成。

算法设计的要求

  1. 正确性:算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
  2. 可读性:算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
  3. 健壮性:当输入数据不合法时,算法也能做出相关处理,而不是产生异常或莫名其妙的结果。
  4. 时间效率高和存储量低

算法效率的度量方法

  1. 事后统计方法:主要通过设计好的测试程序和数据,复用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较,从而确定算法效率的高低。
  2. 事前分析估算方法:在计算机程序编制前,依据统计方法对算法进行估算。

经过分析,一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素:

算法采用的策略、方法;编译产生的代码质量(软件);问题的输入规模;机器执行指令的速度(硬件)。

抛开软、硬件因素的影响,一个程序的运行时间,依赖于算法的好坏和问题的输入规模

比如上面说到的两种求和算法:一个是普通的循环执行,执行n次,即f(n)=n;而高斯算法只执行1次,即f(n)=1。

函数的渐近增长

判断两个算法A和B哪个更好,假设两个算法的输规模都是n。算法A要做2n+3次操作,算法B要做3n+1次操作,哪个更快呢?

如上所示,当n<2时,算法A次数为5而算法B为4,即A比B慢;当n=2时,算法A,B都为7次,相同快;当n>2时,A次数都比B小,即算法A快于算法B。

相似的,把两个算法的常数去掉以后,即A'和B‘的比较,A依然快于B,即常数对算法的影响可以不计。

结论:算法A总体上要好过算法B。

函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于n>N,f(n)总是比g(n)大,那么说f(n)的增长已于g(n)。

算法时间复杂度

    定义:在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)的随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n)=O(f(n))。它的表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

    这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O记法。

    一般情况下,随着n的增大,T(n)增长的算法为最优算法。O(1)称为常数阶、O(n)叫做线性阶、O(n2)叫平方阶。

推导大O阶方法

  1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
  2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
  3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。

常见的时间复杂度

执行次数函数非正式术语
12O(1)常数阶
2n+3O(n)线性阶
3n2+2n+1O(n2)平方阶
5log2n+20O(logn)对数阶
2n+3nlog2n+19O(nlogn)nlogn阶
6n3+2n2+3n+4O(n3)立方阶
2nO(2n)指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)